2014-06-07
Доказать, что расстояния от некоторой точки пространства до каждой из четырех вершин правильного тетраэдра с ребром 2 являются одновременно целыми числами тогда и только тогда, когда эта точка совпадает с одной из вершин тетраэдра.
Решение:
Докажем, что если расстояний от точки M до вершин тетраэдра ABCD с ребром 2 являются целыми числами, то хотя бы одно из расстоянии равно 0 (обратное утверждение сомнений не вызывает). Заметим, что если точка М расположена на прямой, содержащей ребро тетраэдра, скажем ребро АВ с серединой H, то, обозначив $MH = x, MC = y$, имеем $y > x \geq 0$ и $x^{2} + (\sqrt{3})^{2} = y^{2}$, откуда
$(y - x)(y + x) = 3$ и $y – x=1, y+x = 3$,
поэтому $x = 1$( а это значит, что точка М совпадает с одной из вершин А или В. Если же точка М не лежит ни на одной из таких прямых, то кратчайшее расстояние $x > 0$ до вершин тетраэдра отличается от остальных расстояний менее чем на 2, т. е. каждое из расстояний рано либо x, либо х+1. Рассмотрим четыре случая.
1) Вес четыре расстояния равны х. Тогда М - центр описанной около тетраэдра сферы радиуса $\sqrt{6}/2$, что невозможно, ибо $x \in \mathbf{N}$.
2) Три расстояния равны х, в одно – x+1. Пусть для определенности
$MA = MB = MC = x, MD = x + 1$,
а точка О - центр треугольника ABC. Тогда точка М лежит на луче DO, причем $x \geq AO =2\sqrt{3} > 1$, т. е.
$DM = x+1 \geq 2 \geq 2 \sqrt{2/3} = DO = DM – MO = x+ 1 - \sqrt{x^{2} – 4/3}$,
откуда
$x + 1 = 2 \sqrt{2/3} + \sqrt{x^{2} – 4/3} = 2 \sqrt{2/3} + \sqrt{(x – 1/2)^{2} + x -19/12} >$
$> 3/2 + x – 1/2 = x +1$,
что невозможно.
3) Три расстояния равны х + 1, а одно равно х. Аналогично случаю 2) считаем
$MD = x \geq 1, MA = MB = MC = x + 1 \geq 2$.
Тогда точка М лежит на прямой OD, причем точка О не может находиться между точками М и D, так как иначе
$x =2 \sqrt{2/3} + \sqrt{(x + 1)^{2} – 4/3} > 1 + x$.
Поэтому точка М лежит на луче OD и
$2 \sqrt{2/3} = OD = OM – MD = \sqrt{(x + 1)^{2} - 4/3} - x < x + 1 = 1 < 2 \sqrt{2/3}$,
что также невозможно.
4) Два расстояния равны x, а два другие – x + 1. Пусть для определенности
$MA = MB = x \geq 1, MC = MD = x + 1 \geq 2$.
Заметим, что $x \neq 1$ (поскольку согласно доказанному выше точка М не может лежать на прямой АВ), следовательно, $x \geq 2$. Пусть точки E и F – середины отрезков АВ и CD соответственно. Тогда точка М лежит на луче FE, причем
$MF = \sqrt{(x + 1)^{2} – 1} \geq \sqrt{3} > \sqrt{2} = EF$,
откуда имеем
$\sqrt{(x + 1)^{2} – 1} - \sqrt{x^{2} - 1} = MF – ME = EF = \sqrt{2}$,
что невозможно, так как
$\sqrt{(x + 1)^{2} – 1} - \sqrt{x^{2} - 1}$ при $1 < x \in \mathbf{N}$.
Таким образом, утверждение полностью доказано.