2014-06-07
В тетраэдре ABCD ребра AD, BD и CD взаимно перпендикулярны, а их длины равны $a, b, c$ соответственно. Доказать, что для любой точки М, лежащей на одной из сторон треугольника ABC, сумма $S$ расстояний от вершин А, В и С до прямой DM удовлетворяет неравенству
$S \leq \sqrt{2(a^{2} + b^{2} + c^{2})}$
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Пусть для определенности точка М лежит на стороне АВ треугольника ABC и $\angle MDB = \phi$ (рис.). Тогда
$S = c + a \cos \phi + b \sin \phi$
и, обозначив
$d = a \cos \phi + b \sin \phi$,
$\psi = arcos (a/\sqrt{a^{2} + b^{2}})$,
имеем неравенство
$d = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \times (\cos \psi \cos \phi + \sin \psi \sin \phi) = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\phi - \psi) \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}}$,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $\phi = \psi$, т. е. когда
$\cos \phi = AD/AB = \cos \angle DAB$ или $DM \perp AB$.
Далее, используя теорему о средних, получаем оценку
$S = c + d \leq \sqrt{2(c^{2} + d^{2})}$,
в которой равенство достигается тогда и только тогда, когда c = d. Таким образом, требуемое неравенство
$S \leq \sqrt{2(c^{2} + a^{2} + b^{2})}$
доказано. Равенство достигается в том и только в том случае, если ребра AD, BD, CD могут служить тремя сторонами прямоугольного треугольника, a DM - высота, опущенная на меньшую из сторон треугольника ABC.