2014-06-07
Доказать, что если правильный тетраэдр с ребром $a$ вписан в правильный тетраэдр с ребром $b$ так, что на каждой грани последнего лежит ровно одна вершина вписанного тетраэдра, то $3a \geq b$.
Решение:
Пусть правильный тетраэдр $T_{1}$ вписан в правильный тетраэдр $T_{2}$. Тогда радиус $R_{1}$ описанной около тетраэдра $T_{1}$ сферы $S$ не меньше радиуса $r_{2}$ сферы, вписанной в тетраэдр $T_{2}$. Действительно, проведя к сфере $S$ касательные плоскости, параллельные граням тетраэдра $T_{2}$, можно получить тетраэдр $T_{3}$ (подобный тетраэдру $T_{2}$, а значит, тоже правильный), описанный около сферы $S$ и содержащий тетраэдр $T_{2}$. Поэтому радиус $r_{3} = R_{1}$, вписанной в тетраэдр $T_{3}$ сферы не меньше $r_{2}$. Так как радиус $r_{1}$ вписанной в правильный тетраэдр $T_{1}$ сферы втрое меньше, чем $R_{1}$, то $3r_{1} = R_{1} \geq r_{2}$, откуда вытекает требуемое неравенство.