2014-06-07
Доказать, что если в тетраэдре имеются две пары противоположных взаимно перпендикулярных ребер, то середины всех его ребер лежат на одной сфере.
Решение:
Пусть ребра тетраэдра ABCD удовлетворяют условиям $AC \perp BD, AD \perp BC$. Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Полученные три пары параллельных плоскостей образуют параллелепипед $AB^{\prime}CD^{\prime}A^{\prime}BC^{\prime}D$ (рис.). Параллелограммы $AB^{\prime}CD^{\prime}$ и $A^{\prime}BC^{\prime}D$ являются ромбами, так как их диагонали параллельны взаимно перпендикулярным прямым АС и BD. Аналогично, $AA^{\prime}DD^{\prime}$ и $BC^{\prime}CB^{\prime}$ - ромбы, поэтому все ребра параллелепипеда равны между собой. Наконец, расстояние от центра О симметрии параллелепипеда до середины любого ребра тетраэдра равно половине ребра параллелепипеда (например, расстояние от точки О до середины ребра АВ равно расстоянию от центра симметрии параллелограмма $ABC^{\prime}D^{\prime}$ до середины его стороны АВ, т. е. половине ребра $AD^{\prime}$ параллелепипеда), откуда и следует утверждение задачи.