2014-06-07
На ребрах АВ. AC, AD заданного тетраэдра ABCD для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ выбираются точки $K_{n}, L_{n}, M_{n}$ соответственно так, что
$AB = n AK_{n}, AC = (n+1)AL_{n}, AD = (n+2)AM_{n}$.
Доказать, что все плоскости $K_{n}L_{n}M_{n}$ проходят через одну и ту же прямую.
Решение:
Докажем, что все прямые $K_{n}L_{n}$ при $n \in \mathbf{N}$ проходят через фиксированную точку О, лежащую на прямой, проходящей через вершину А параллельно прямой ВС. Действительно, если прямая $K_{n}L_{n}$ пересекает прямую ВС в точке Р (лежащей на луче СВ; рис.), то из подобия соответствующих треугольников имеем
$\frac{PB}{OA} = \frac{BK_{n}}{AK_{n}} = n-1, \frac{PC}{OA} = \frac{CL_{n}}{AL_{n}} = n$,
откуда получаем
$OA = nOA – (n-1)OA = PC – PB = BC$.
Аналогично доказывается, что все прямые $L_{n}M_{n}$ при $n \in \mathbf{N}$ проходят через фиксированную точку Q, лежащую на прямой, проходящей через вершину А параллельно прямой CD. Следовательно, все плоскости $K_{n}L_{n}M_{n}$ при $n \in \mathbf{N}$ проходят через прямую OQ.