2019-04-29
Доказать, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Решение:
Пусть $A$ - одно из данных лиц; ясно, что либо 1) $A$ имеет среди присутствующих грех знакомых $B_1, B_2$ и $B_3$; либо 2) имеются трое лиц $C_1, C_2$ и $C_3$, ни с одним из которых $А$ не знаком (среди 5 отличных от $А$ лиц у него есть либо трое знакомых, либо трое незнакомых). В случае 1) если $B_1, B_2$ и $B_3$ попарно незнакомы, то они образуют требуемую тройку; если же, например, $B_1$ и $B_2$ знакомы, то имеем тройку попарно знакомых лиц $A, B_1$ и $B_2$. Аналогично, если в случае 2) $C_1, C_2$ и $C_3$ попарно знакомы, то они образуют нужную нам тройку; если же, скажем, $C_1$ не знаком с $C_2$, то мы приходим к тройке $A, C_1$ и $C_2$.
Ответ: Пусть $A$ - произвольное лицо; оно имеет либо трех знакомых, либо существуют трое лиц, с которыми $A$ незнаком.