2019-04-29
Каждый из людей, когда-либо живших на земле, обменялся с другими определенным числом рукопожатий. Доказать, что число людей, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, четно.
Решение:
Составим общую сумму чисел всех рукопожатий, сделанных когда-либо каждым из людей. Эта сумма обязательно четна, потому что каждое рукопожатие, которым обменялись два лица $А$ и $В$, увеличивает на 1 число рукопожатий, сделанных $A$, и на 1 число рукопожатий, сделанных $В$, и, следовательно, дает слагаемое 2 в общей сумме. Но, с другой стороны, эта сумма составляется из чисел рукопожатий, сделанных каждым отдельным человеком. Из четности суммы вытекает, что число нечетных слагаемых в ней четно, что и требовалось доказать.
Ответ: Составьте сумму всех сделанных каждым из людей рукопожатий.