2019-04-01
Каждая грань выпуклого многогранника является либо правильным треугольником, либо правильным шестиугольником, причём тех и других поровну. Найдите все такие многогранники.
Решение:
Пусть у многогранника всего $x$ шестиугольных граней. Заметим, что в одной вершине не может сходиться более двух шестиугольных граней, поскольку сумма плоских углов при вершине должна быть меньше $360^{\prime}$. Поэтому число треугольных граней $y$ удовлетворяет неравенству $y \geq \frac{3x}{3} = x$ причём равенство достигается лишь если каждая треугольная грань граничит ровно с тремя шестиугольными, а каждая шестиугольная - с тремя треугольными и тремя шестиугольными. Значит, число вершин многогранника равно $B = \frac{3x + 6x}{3} = 3x$ (в каждой вершине сходятся три ребра), число граней равно $\Gamma = 2x$, число рёбер - $P = \frac{6x+3x}{2} = \frac{9}{2} x$. Подставляя эти выражения в формулу Эйлера $В + \Gamma - P = 2$ (доказательство которого приведено ниже), получаем:
$3x + 2x - \frac{9}{2} x = \frac{1}{2} x = 2$.
Значит, $x = 4$, т. е. у многогранника всего четыре треугольные и четыре шестиугольные грани. Теперь конструкция однозначно восстанавливается. Искомый многогранник - это правильный тетраэдр с ребром $a$, у каждой из вершин которого отсечён правильный тетраэдр с ребром $\frac{a}{3}$ (рис.).