2019-04-01
В комнату с высотой потолка 2 м 10 см основанием вперёд вносят шкаф размером $0,7 \times 1,5 \times 2$ м. Удастся ли его поставить? (Основание шкафа - $0,7 \times 1,5$ м.)
Решение:
Докажем, что поставить шкаф не удастся. Предположим, что это возможно за время $T$. Рассмотрим отображение, которое в каждый момент времени $0 \leq t \leq T$ ставит в соответствие точке $O$ (центру шкафа) точку $F(t)$ на его поверхности такую, что отрезок $OF(t)$ перпендикулярен плоскости пола (точка $F(t)$ расположена ближе к полу, чем $O$). Другими словами, мы «поместили» в точку $O$ «краник» с чернилами и открыли его. При всевозможных перемещениях шкафа на его поверхности будет вырисовываться непрерывная кривая $\gamma$ (рис.).
$F(0) = A$ - центр боковой грани шкафа, $F(T) = B$ - центр основания шкафа. Контур основания делит поверхность шкафа на две области так, что $A$ лежит в одной области, $B$ - в другой. Отсюда следует, что кривая $\gamma$ пересекает контур основания в некоторой точке $C$ (луч $OC$ перпендикулярен плоскости пола). Однако для любой точки $C$ на контуре основания
$ОС \geq \frac{1}{2} \sqrt {2^2 + 0,7^2} > \frac{1}{2} \cdot 2,1$ м,
и в этот момент шкаф не помещается в комнате. Противоречие.
Замечание 1. Это объясняет разумность привычного способа: поставить шкаф на наибольшее ребро основания и поднимать.
Замечание 2. Здесь мы воспользовались теоремой Жор¬дана, утверждение которой кажется очевидным, но доказать её нелегко. Формулировка этой теоремы выглядит так. Если на «хорошей» ) поверхности нарисовать непрерывную замкнутую кривую $\gamma$, то она разделит поверхность на две области: любая непрерывная кривая с концами в разных областях пересекается с $\gamma$.
В данном случае можно обойтись и без теоремы Жордана, сведя задачу к использованию теоремы о промежуточном значении функции $f$ одного аргумента. Для этого отобразим параллелепипед на описанный цилиндр непрерывным отображением $\phi$ и возьмём в качестве функции $f$ угол между лучом $O \phi (F(t))$ и вертикалью.