2019-04-01
Назовём грань описанного около шара многогранника большой, если она содержит ортогональную проекцию шара на плоскость этой грани. Докажите, что в любом многограннике больших граней не более шести.
Решение:
Рассмотрим центральную проекцию поверхности многогранника на вписанную сферу (с центром проекции в центре сферы), рис. Заметим, что, поскольку многогранник выпуклый, проекции разных граней не имеют общих внутренних точек. Кроме того, площадь проекции «большой» грани больше площади сферической «шапочки», выделенной на рис.
Воспользуемся тем фактом, что площадь сферического слоя между двумя параллельными плоскостями зависит лишь от ширины слоя и не зависит от положения плоскостей, поэтому площадь «шапочки», как следует из рис., составляет
$\frac{CD}{2OC} = \frac{AB}{2AO} = \frac {\sqrt{2} - 1}{2 \sqrt{2}} > \frac{1}{7}$.
Значит, «больших» граней не может быть больше шести, иначе их центральные проекции пересекались бы по внутренним точкам.