2019-04-01
При каких натуральных $n$ существует такой многочлен $P(x)$, что $P(P(x)) = x^n -1$?
Решение:
Обозначим через $Q$ производную $P^{\prime}$ многочлена $P$, тогда по правилу дифференцирования сложной функции $(P(P(x)))^{\prime} = P^{\prime}(x) P^{\prime}(P(x)) = Q(x) Q(P(x)) = nx^{n-1}$. Значит, $Q(x)$ - одночлен, т. е. $Q(x)=a_kx^k; Q(P(x))$ - также одночлен. При $k>0$ это означает, что $P(x)$ - одночлен и равенство $P(P(x)) = x^n -1$ невозможно. Противоречие. Значит, $k = 0, Q(x) = a$ и $P(x) = ax + b, n = 1$. Определим теперь значения $а$ и $b$:
$P(P(x)) = a(ax+b)+b = a^2x +(ab + b) = x - 1$,
откуда $a = 1, b = - \frac{1}{2}, P(x) = x - \frac{1}{2}$.