2019-04-01
а) Каждый день футболист выбирает по клетке футбольного мяча, который сшит из 12 чёрных правильных пятиугольников и 20 белых правильных шестиугольников (рис.), и изменяет цвет всех её соседей. Он хочет добиться того, чтобы мяч стал полностью чёрным. Какое наименьшее число дней необходимо для этого? б) Может ли он действовать так, что мяч станет полностью белым?
Решение:
а) Ответ: 12 дней. Если футболист последовательно выберет каждый из 12-ти чёрных пятиугольников и поменяет цвет соседей, то каждый шестиугольник поменяет цвет трижды, и в итоге через 12 дней мяч станет полностью чёрным.
Докажем теперь, что 12 - минимальное количество дней. Если это не так, то футболист не перекрашивал соседей одного из чёрных пятиугольников, обозначим этот пятиугольник через $A$. Положим мяч на плоскость а так, чтобы пятиугольник $A$ оказался снизу. Выберем точку $O$ чуть выше мяча и спроецируем из неё поверхность мяча на плоскость $\alpha$) (рис.). Заметим, что при выборе любой из клеток, кроме $A$, чётность числа чёрных клеток среди отмеченных буквой $B$ на рис. не меняется. Значит, не выбирая $A$, футболист не может добиться даже того, чтобы все клетки $В$ стали чёрными. Противоречие.
б) Ответ: да, может. Для этого достаточно сначала сделать мяч полностью чёрным (см. п. а)). Затем последовательно выбрать каждый шестиугольник; при этом каждый пятиугольник поменяет цвет пять раз, а каждый шестиугольник - три раза. В итоге мяч станет полностью белым. Для этого потребуется 32 дня.