2019-04-01
Сумма целых чисел $x, у, z, t$ равна нулю. Докажите, что число $\frac {x^4 + y^4 + z^4 + t^4}{2} + 2xyzt$ является квадратом целого числа.
Решение:
Рассмотрим приведённый многочлен четвёртой степени $P(u) = u^4 + \cdots$, корнями которого являются числа $x, y, z, t$. По теореме Виета, коэффициент при $u^3$ равен нулю, так как $x + y + z + t = 0$, т. е. $P(u) = u^4 + au^2 + bu + c$. Подставляя вместо $u$ последовательно $х, y, z, t$ и складывая полученные равенства, имеем:
$x^4+y^4+z^4 + t^4 + a(x^2+y^2+z^2 + t^2)+b(x+y+z+t)+4c = 0$.
Откуда, учитывая, что
$а=xy+yz+zt+tx+xz+yt= \frac{1}{2}(x+y+z+t)^2- \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2 + t^2)= - \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2 + t^2)$,
$c = xyzt$,
получаем:
$x^4+y^4 + z^4 + t^4 + 4xyzt = 2 \left (\frac {x^2+y^2+z^2+t^2}{2} \right )^2$.