2019-04-01
На сторонах единичного квадрата вне его как на гипотенузах построены прямоугольные треугольники. Пусть $A, B, C, D$ - вершины при прямых углах, а $O_A, O_B, O_C, O_D$ - центры вписанных окружностей этих треугольников (рис.). Докажите, что а) площадь четырёхугольника $ABCD$ не превосходит 2; б) площадь четырёхугольника $O_AO_BO_CO_D$ не превосходит 1.
Решение:
а) Заметим, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на полуокружностях, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах. Пусть $\omega$ - окружность, которая касается внутренним образом построенных дуг в точках $M, N, P$ и $Q$ (эти четыре точки являются серединами полуокружностей). Полученный четырёхугольник $MNPQ$ является квадратом площади 2, вписанным в окружность $\omega$ (рис.). Продолжим стороны $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$ до пересечения с $\omega$ в точках $A^\prime, B^\prime, C^\prime$ и $D^\prime$ (см. рис.). Имеем:
$S_{ABCD} \leq S_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} } \leq S_{MNPQ} = 2$.
Последнее неравенство выполняется, поскольку среди всех четырёхугольников, вписанных в окружность $\omega$, наибольшую площадь имеет квадрат $MNPQ$.
б) Обозначим вершины исходного квадрата через $E, F, G, H$ (рис.). Поскольку $FO_A$ и $GO_A$ - биссектрисы соответствующих углов, то $\angle FO_AG = 135^{\circ}$. Следовательно, $ \angle FO_AG + \angle FEG = 135^{\circ} +45^{\circ} = 180^{\circ}$, т. е. точка $O_A$ лежит на окружности, описанной около квадрата $EFGH$. Аналогично доказывается, что и точки $OB, OC$ и $OD$ лежат на этой окружности. Но из всех четырёхугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому
$S_{O_AO_BO_CO_D} \leq S_{EFGH} = 1$.