2019-04-01
В футбольном турнире, проходившем в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один раз), участвовало 16 команд, каждые две из которых набрали различное число очков (победа - 3 очка, ничья - 1 очко). Оказалось, что команда «Зубило» проиграла всем командам, набравшим в итоге меньшее число очков. Какого наилучшего результата она могла добиться?
Решение:
Пусть команда «Зубило» заняла $k$-е место, набрав $m$ очков. Заметим, что
$m \leq 3 (k-1)$. (*)
Ведь эта команда могла получить очки лишь играя с командами, занявшими места с 1-го по $(k - 1)$-е. Оценим теперь общее число очков $q$, набранное командами, занявшими места с $(k + 1)$-го по 16-е. С одной стороны,
$q \leq (m-1) + (m-2) + \cdots + (m - (16 - k)) = m (16 - k) - \frac{1}{2} (16 - k)(17 - k)$.
С другой стороны, $q \geq 3(16 - k) + (16-k)(15-k)$, ведь все эти команды выиграли у команды, занявшей $k$-е место, и в каждом матче друг с другом (а таких матчей $\frac{1}{2}(16 - к)(15-k)$) набрали в сумме не менее 2 очков. Итак,
$3(16-k) +(16-k)(15-k) \leq q \leq m(16-k) - \frac{1}{2}(16-k)(17-k)$.
Отсюда получаем
$m \geq \frac{1}{2} (53-3k)$. (**)
Объединяя неравенства (*) и (**), получим
$\frac{1}{2}(53-3k) \leq m \leq 3(k-l)$,
откуда $9k \geq 59, k \geq 7$. Таким образом, команда «Зубило» не могла занять места выше седьмого. Пример, показывающий, что седьмое место эта команда могла занять, показан на рис.