2019-04-01
На доске написаны три функции: $f_1(x) = x+ \frac{1}{x}, f_2(x) = x^2, f_3 (x) = (x-1)^2$. Разрешается складывать, вычитать и перемножать эти функции, умножать на произвольное число и прибавлять произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию $\frac{1}{x}$. Докажите, что если стереть с доски любую из функций $f_1, f_2, f_3$, то получить $\frac{1}{x}$ невозможно.
Решение:
Поскольку $f_2(x) - f_3 (x) = 2x - 1$, и поскольку мы можем прибавить 1 и умножить полученное выражение $2x$ на $\frac{1}{2}$, можно получить функцию $x$. Вычитая её из $f_1 (x)$, как раз получим
$\frac{1}{x} = f_1 (x) - \frac{1}{2} (f_2 (x) - f_3 (x) + 1)$.
Поскольку операция деления не дозволена, выразить $\frac{1}{x}$ только через функции $f_2$ и $f_3$ невозможно: никак нельзя получить $x$ в знаменателе.
Интереснее доказательство того, что нельзя обойтись без функции $f_2$: вычислим производные функций $f_1$ и $f_3$
$\left ( x + \frac{1}{x} \right )^{ \prime} = 1 - \frac{1}{x^2}, ((x-1)^2)^{\prime} = (x^2 - 2x + 1)^{\prime} = 2x - 2$
в точке $x = 1$. Обе оказываются равны нулю. То же справедливо и для любой их разрешённой комбинации. А производная функции $\frac{1}{x}$ в точке $x=1$ отлична от нуля.
Необходимость функции $f_3$ следует из того, что если подставить $x = i = \sqrt {-1}$ в функции $f_l$ и $f_2$, получаются вещественные числа: $f_1 (i) = i + \frac{1}{i} - i = 0, f_2(i) = i_2 = - 1$. А только через вещественные числа выразить мнимое число $\frac{1}{i} = -i$ нельзя.