2019-03-25
Решить неравенство
$log_3 \frac {|x^2 - 4x| + 3}{x^2 + |x - 5|} \geq 0$.
Решение:
Данное неравенство эквивалентно такому:
$\frac {|x^2 - 4x| + 3}{x^2 + |x-5|} \geq 1$.
Знаменатель всегда положителен. Поэтому
$|x^2 - 4x| + 3 \geq x^2 + |x-5|$,
остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая. Если $x < 0$, то получаем систему
$\begin{cases} x < 0 \\ x^2 - 4x + 3 \geq x^2 + 5 - x \end{cases}$, или $\begin{cases} x < 0 \\ x \leq - 2/3 \end{cases}$,
которой удовлетворяет полупрямая $x \leq - \frac{2}{3}$.
Если $0 \leq x \leq 4$, приходим к системе
$\begin{cases} 0 \leq x \leq 4 \\ 2x^2 - 5x + 2 \leq 0 \end{cases}$,
решением которой будет отрезок $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$.
Если $4 < x \leq 5$, то наше неравенство примет вид $x^2 - 4x + 3 \geq x^2 + 5 - x$, откуда $x \leq - \frac{2}{3}$. Это не удовлетворяет условию $4 < x \leq 5$, а потому в данном случае решений нет.
Остается случай $x > 5$. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим $x \leq \frac{8}{5}$. Здесь снова нет решений.
Ответ. $x \leq - \frac{2}{3}; \frac{1}{2} \leq x \leq 2$.