2019-03-25
Решить неравенство
$\frac {1 + log_a^2 {x}}{1 + log_a {x}} > 1$.
Решение:
Обозначим $log_a x = y$. Неравенство примет вид
$\frac {1+y^2}{1+y} > 1$.
Так как $1 + y^2 > 0$, то и $1 + y > 0$. Поэтому данное неравенство равносильно системе
$\begin{cases} 1 + y^2 > 1 + y \\ 1 + y > 0 \end{cases}$,
т. е.
$\begin{cases} y(y-1) > 0 \\ y > -1 \end{cases}$, или $\begin{cases} y < 0, y > 1 \\ y > -1 \end{cases}$.
Получаем два интервала решений:
$-1 < y < 0, y > 1$.
Так как $у = log_a x$, то нужно рассмотреть два случая.
Bо-первых, если $a > 1$, то $log_a x$ - функция возрастающая и мы получим два интервала решений:
$\frac{1}{a} < x < 1, x > a$.
Если же $0 < a < 1$, то получим другие два интервала решений: $1 < x < \frac{1}{a}, 0 < x < a$.
Ответ. При $a > 1: \frac{1}{a} < x < 1, x > a$; при $0 < a < 1$: $0 < x < a, 1 < x < \frac{1}{a}$.