2019-03-25
Решить неравенство
$log_2(2^x - 1) log_{1/2} (2^{x+1} -2) > -2$.
Решение:
Так как $log_{1/2} N = - log_2 N$, то данное неравенство перепишем в виде
$log_2 (2^x - 1) log_2 (2^{x+1} - 2) < 2$.
Преобразуем второй сомножитель:
$log_2 (2^{x+1} - 2) = log_2 [2(2^x - 1)] = 1 + log_2 (2^x - 1)$.
Обозначив $log_2 (2^x - 1) = 7$, получим квадратное неравенство
$y(y+1) < 2$, или $y^2 + y - 2 < 0$,
решения которого лежат в интервале
$-2 < y < 1$.
Вспоминая, чему равен $y$, получим
$-2 < log_2 (2^x - 1) < 1$,
т.е.
$\frac{1}{4} < 2^x - 1 < 2, \frac{5}{4} < 2^x < 3$.
Ответ. $log_2 5 - 2 < x < log_2 3$.