2019-03-25
Решить неравенство
$log_x {2} \cdot log_{2x} {2} \cdot log_2 {4x} > 1$.
Решение:
Перейдем к основанию 2 и прологарифмируем выражения $2x$ и $4x$:
$\frac {1}{log_2 x (1 + log_2 x)} (2 + log_2 x) > 1$.
Обозначив $log_2 x = y$ получим неравенство
$\frac {2+y}{y(y+1)} > 1$, или $\frac {2 - y^2}{y(y+1)} > 0$.
Запишем последнее неравенство в более удобной форме
$\frac {(y - \sqrt {2})(y + \sqrt {2})}{y(y+1)} < 0$;
его решениями будут два интервала:
$- \sqrt {2} < y < -1$, $0 < y < \sqrt{2}$.
Вспомнив, что $y = log_2 x$, найдем $x$.
Ответ. $\frac{1}{ 2^{\sqrt 2}} < x < \frac{1}{2}, 1 < x < 2^{\sqrt 2}$.