2014-06-07
Доказать, что только одна тройка натуральных чисел, больших единицы, обладает тем свойством, что произведение любых двух из этих чисел, увеличенное на 1, делится на третье.
Решение:
Пусть тройка чисел $a, b, c \in \mathbf{N}$ удовлетворяет условиям
$(ab+1) \vdots c, (ac+1) \vdots b$, и $(bc+1) \vdots a$.
Заметим, что числа $a, b, c$ попарно взаимно просты (если, например, $(a, b) > 1$, то $(ac, b)=d > 1$ и число $ac+1$ не делится на $d$, а тем более на $b$), следовательно, все они различны. Число $s=ab+ac+bc+1$ делится на каждое из чисел $a, b, c$, а в силу взаимной простоты этих чисел - делится и на их произведение, поэтому $s \geq abc$. Без ограничения общности можно считать, что $2 \leq a < b < c$. Предположим, что $b \geq 4$, тогда $c \geq 5, abc \geq 2 \cdot 4 \cdot 5 =40$ и
$s = ab+ ac +bc +a \leq \frac{abc}{5} +\frac{abc}{4}+\frac{abc}{2}+1= $
$=abc - \frac{abc}{20} + 1 \leq abc - \frac{40}{20} +1 < abc$.
Полученное противоречие означает, что $b < 4$, поэтому $a = 2, b = 3$. Поскольку число $ab + 1 = 7$ делится на $c$, то $c=7$, а значит, условию задачи удовлетворяет единственная тройка чисел 2, 3, 7.