Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 223
2014-06-07 
Среди $n > 1$ пар противоположных сторон вписанного 2n-угольннка выбрана $n – 1$ пара параллельных сторон. Найти все значения $n$, для которых стороны оставшейся при этом пары обязательно параллельны.
Решение:
Докажем, что искомые значения $n$ - это все нечетные числа $n > 1$. Пусть $n$ нечетно и в 2n-угольнике $A_{1}, \cdots , A_{2n}$ все пары противоположных сторон, кроме, быть может, пары $A_{1}A_{2n}, A_{n}A_{n+1}$, составлены из параллельных отрезков. Если (рис.) $\check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} = 180^{\circ} + \alpha$, то
$\check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} = \check{A_{2}A_{n}A_{n+1}} + \check{A_{n+1}A_{n+2}} = \check{A_{1}A_{2n}A_{n+2}} +$
$+ A_{n+2}A_{n+1} = 360^{\circ} – \check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} = 180^{\circ} - \alpha$ (ибо $A_{1}A_{2} \parallel A_{n+1}A_{n+2}$),
Аналогично проверяется, что
$\check{A_{3}A_{n+2}A_{n+3}} = 180^{\circ} + \alpha, \cdots , \check{A_{n}A_{n+1}A_{2n}} = 180^{\circ} + (-1)^{n+1} \alpha = 180^{\circ} + \alpha$.
Поэтому
$\check{A_{1}A_{2}A_{n}} = 180^{\circ}+ \alpha - \check{A_{n}A_{n+1}} = \check{A_{n+1}A_{n+2}A_{2n}}$.
откуда $A_{n}A_{n+1} \parallel A_{1}A_{2n}$. Теперь докажем, что при том же (нечетном) значении $n$ существует $2(n-1)$-угольник, для которого требуемое в задаче условие не выполнено. Возьмем какой-либо $2n$-угольник $A_{1} \cdots A_{2n}$, для которого противоположные стороны параллельны, но $\check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} \neq 180^{\circ}$. Для этого достаточно дугу $A_{1}A_{n+1} < 180^{\circ}$ разбить на $n$ равных дуг точками $A_{2}, \cdots, A_{n}$ и провести последовательно хорды
$A_{n+1}A_{n+2} \parallel A_{1}A_{2}, \cdots , A_{2n-1}A_{2n} \parallel A_{n-1}A_{n}$,
после чего, согласно доказанному выше, будет выполнено условие $A_{2n}A_{1} \parallel A_{n}A_{n+1}$, причем
$\check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} = \check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} = \check{A_{2n}A_{1}A_{n}} \neq 180^{\circ}$.
Поэтому
$\check{A_{2}A_{3}A_{n}} - \check{A_{2n}A_{2n-1}A_{n+2}} = \check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} - \check{A_{2n}A_{n+1}A_{n}} = \check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} -$
$- (360^{\circ} - \check{A_{2n}A_{1}A_{n}}) \neq 0$,
т. е. отрезки $A_{2}A_{2n}$ и $A_{n}A_{n+2}$ не параллельны и $2(n - 1)$-угольннк $A_{2} \cdots A_{n}A_{n+2} \cdots A_{2n}$ имеет ровно $n – 2$ пары противоположных параллельных сторон.
Среди $n > 1$ пар противоположных сторон вписанного 2n-угольннка выбрана $n – 1$ пара параллельных сторон. Найти все значения $n$, для которых стороны оставшейся при этом пары обязательно параллельны.
Решение:
Докажем, что искомые значения $n$ - это все нечетные числа $n > 1$. Пусть $n$ нечетно и в 2n-угольнике $A_{1}, \cdots , A_{2n}$ все пары противоположных сторон, кроме, быть может, пары $A_{1}A_{2n}, A_{n}A_{n+1}$, составлены из параллельных отрезков. Если (рис.) $\check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} = 180^{\circ} + \alpha$, то
$\check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} = \check{A_{2}A_{n}A_{n+1}} + \check{A_{n+1}A_{n+2}} = \check{A_{1}A_{2n}A_{n+2}} +$
$+ A_{n+2}A_{n+1} = 360^{\circ} – \check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} = 180^{\circ} - \alpha$ (ибо $A_{1}A_{2} \parallel A_{n+1}A_{n+2}$),
Аналогично проверяется, что
$\check{A_{3}A_{n+2}A_{n+3}} = 180^{\circ} + \alpha, \cdots , \check{A_{n}A_{n+1}A_{2n}} = 180^{\circ} + (-1)^{n+1} \alpha = 180^{\circ} + \alpha$.
Поэтому
$\check{A_{1}A_{2}A_{n}} = 180^{\circ}+ \alpha - \check{A_{n}A_{n+1}} = \check{A_{n+1}A_{n+2}A_{2n}}$.
откуда $A_{n}A_{n+1} \parallel A_{1}A_{2n}$. Теперь докажем, что при том же (нечетном) значении $n$ существует $2(n-1)$-угольник, для которого требуемое в задаче условие не выполнено. Возьмем какой-либо $2n$-угольник $A_{1} \cdots A_{2n}$, для которого противоположные стороны параллельны, но $\check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} \neq 180^{\circ}$. Для этого достаточно дугу $A_{1}A_{n+1} < 180^{\circ}$ разбить на $n$ равных дуг точками $A_{2}, \cdots, A_{n}$ и провести последовательно хорды
$A_{n+1}A_{n+2} \parallel A_{1}A_{2}, \cdots , A_{2n-1}A_{2n} \parallel A_{n-1}A_{n}$,
после чего, согласно доказанному выше, будет выполнено условие $A_{2n}A_{1} \parallel A_{n}A_{n+1}$, причем
$\check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} = \check{A_{1}A_{2}A_{n+1}} = \check{A_{2n}A_{1}A_{n}} \neq 180^{\circ}$.
Поэтому
$\check{A_{2}A_{3}A_{n}} - \check{A_{2n}A_{2n-1}A_{n+2}} = \check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} - \check{A_{2n}A_{n+1}A_{n}} = \check{A_{2}A_{n+1}A_{n+2}} -$
$- (360^{\circ} - \check{A_{2n}A_{1}A_{n}}) \neq 0$,
т. е. отрезки $A_{2}A_{2n}$ и $A_{n}A_{n+2}$ не параллельны и $2(n - 1)$-угольннк $A_{2} \cdots A_{n}A_{n+2} \cdots A_{2n}$ имеет ровно $n – 2$ пары противоположных параллельных сторон.
