2019-03-17
Через центр $O^{\prime}$ правильного треугольника $ABC$ проведена произвольная прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Решение:
Обозначим угол $AOD$ (рис.) через $\alpha$. Так как углы $AOB$ и $BOC$ равны $120^{\circ}$, то углы $BOF$ и $COE$ равны соответственно $60^{\circ} - \alpha$ и $60^{\circ} + \alpha$. Составим сумму
${AD}^2 + {CE}^2 + {BF}^2 = R^2 \sin^2 (60^{\circ} +\alpha) + R^2 sin^2 (60^{\circ} + \alpha) + R^2 \sin^2 (60^{\circ} - \alpha)$.
После понижения степени получим
${AD}^2 + {CE}^2 + {BF}^2 = \frac{R^2}{2} (3 - \cos 2\alpha + 1 - \cos (120^{\circ} + 2\alpha) + 1 - \cos(120^{\circ} - 2\alpha)] = \frac{R^2}{2} \left (3 - \cos 2\alpha + 2 \cos 2\alpha \cdot \frac{1}{2} \right ) = \frac{3}{2} R^2$.
Tем самым доказано, что эта величина не зависит от положения прямой на плоскости.