2019-03-17
Hа сторонах треугольника $ABC$ взяты точки $P, Q$ и $R$ так, что три прямые $AP, BQ$ и $CR$ пересекаются в одной точке. Доказать, что $\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$. (теорема Чевы).
Решение:
Проведем $CE$ и $AD$ параллельно $BQ$, а отрезки $AP$ и $CR$ продолжим до пересечения с ними (рис.).
Рассмотрим образовавшиеся в результате подобные треугольники. Так как отрезки $AD$ и $OQ$ параллельны, то $\frac {CQ}{QA} = \frac {CO}{OD}$. Из подобия треугольников $ADO$ и $OEC$ следует, что $\frac {CO}{OD} = \frac {CE}{AD}$. Итак, $\frac {CQ}{QA} = \frac {CE}{AD}$.
Воспользовавшись двумя парами подобных треугольников: $EPC$ и $OBP$, $ADR$ и $RBO$, мы можем записать
$\frac {BP}{PC} = \frac {BO}{CE}, \frac {AR}{RB} = \frac {AD}{BO}$.
Следовательно,
$\frac {AR}{RB} \cdot \frac {BP}{PC} \cdot \frac {CQ}{QA} = \frac {AD}{BO} \cdot \frac {BO}{CE} \cdot \frac {CE}{AD} = 1$.