2019-03-17
Tочка $D$ находится на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Доказать, что $AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC = BC \cdot DC \cdot BD$ (теорема Cтюарта).
Решение:
Пусть $AE$ - высота, опущенная на $BC$ (рис.). Тогда все участвующие в левой части равенства величины можно выразить через $AE$ и длины отрезков, лежащих на $BC$. При этом следует стремиться связать каждый отрезок с точкой $D$. Получим
${AB}^2 = {BE}^2 + {AE}^2 = (BD+DE)^2 + {AE}^2, {AC}^2 = {CE}^2 + {AE}^2 = (CD - DE)^2 + {AE}^2, {AD}^2 = {DE}^2 + {AE}^2$.
Воспользовавшись полученными соотношениями, составим сумму
${AB}^2 \cdot DC + {AC}^2 \cdot BD - {AD}^2 \cdot BC$.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
$({DE}^2 + {AE}^2) (DC + BD - BC) + DC \cdot {BD}^2 + BD \cdot {DC}^2$.
Так как $DC + BD = BC$, то остается
$DC \cdot {BD}^2 + BD \cdot {DC}^2 = (BD + DC) DC \cdot BD = BC \cdot DC \cdot BD$,
что и требовалось доказать.