2019-03-17
Доказать, что если $P, Q, R$ - соответственно точки пересечения каждой из сторон $BC, CA, AB$ (или их продолжений) треугольника $ABC$ с некоторой прямой, то $\frac{BR \cdot AQ \cdot PC}{AR \cdot QC \cdot BP} = 1$(теорема Менелая).
Решение:
Проведем $AL$ параллельно $BC$ (рис.). Из подобия треугольников $RAL$ и $RBP$ следует, что
$\frac {BR}{AR} = {BP}{AL}$, т.е. $\frac {BR \cdot AL}{AR \cdot BP} = 1$.
Из подобия треугольников $AQL$ и $CQP$:
$\frac {AL}{PC} = \frac {AQ}{QC}$, т.е. $AL = \frac {AQ \cdot PC}{QC}$.
Подставляя значение AL в отношение, полученное раньше, придем к равенству
$\frac {BR \cdot AL}{AR \cdot BP} = \frac {BR \cdot AQ \cdot PC}{AR \cdot BP \cdot QC} = 1$, что и требовалось доказать.