2019-03-17
B треугольнике $ABC$ углы $A, B$ и $C$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Доказать, что $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.
Решение:
Сумма всех углов треугольника равна $7A$. Поэтому
$A = \frac{\pi}{7}, B = \frac{2\pi}{7}, C = \frac{4\pi}{7}$.
В силу теоремы синусов
$a = 2R \sin \frac{\pi}{7}, b = 2R \frac{\sin 2\pi}{7}, c = 2R \frac{\sin 4\pi}{7}$.
Соотношение, которое нужно доказать, эквивалентно такому:
$\frac {1}{\sin \frac{\pi}{7}} = \frac {1}{\sin
\frac{2\pi}{7}} + \frac {1}{\sin \frac{4\pi}{7}}$,
или
$\sin \frac{2\pi}{7} \sin \frac{4\pi}{7} = \sin
\frac{\pi}{7} \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2\pi}{7}$.
Преобразуем левую часть:
$\sin \frac{2\pi}{7} \sin \frac{4\pi}{7} = 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} = \sin \frac{\pi}{7} \left (\sin \frac{3\pi}{7} + \sin \frac{ 5\pi}{7} \right ) = \sin \frac{\pi}{7} \left (\sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{2\pi}{7} \right ) = \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2\pi}{7}$,
что и доказывает наше соотношение.