2019-03-17
Углы $C, A, B$ треугольника $ABC$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть $O$ -центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $K$ -центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$, $L$ - центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Доказать, что треугольники $ABC$ и $OKL$ подобны.
Решение:
Так как углы $C, A, B$ треугольника $ABC$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2, то $A= 2C, B = 4C$ (рис.). Точка $O$ - центр вписанной окружности, т. е. $OK$ и $OL$ являются отрезками соответствующих биссектрис.
Вычислим углы треугольника $OLK$. Угол $KOL$ равен углу $BOA$ треугольника $BOA$, в котором два угла уже известны: угол при вершине $A$ равен $C$, а угол при вершине $B$ равен $2C$. Следовательно, угол $BOA = \pi - 3C$. Но в силу соотношений, приведенных в условии, $\pi =A + B + C = 7C$, т. е. угол $BOA$, а следовательно и угол $LOK$, равен $4C$.
Рассмотрим далее треугольник $EKC$. Угол при вершине $E$ в этом треугольнике (равный углу $AEO$ из треугольника $AEO$) вместе с углом $OAE$, равным $C$, образует угол $LOK$, равный $4C$. Таким образом, угол $KEC$:равен $3C$. Угол $ECK$ равен половине угла $ECM$, который вместе с углом $C$ образует $\pi$, т. е. $7C$. Следовательно, угол $ECK$:равен $3C$. Найденные два угла, каждый из которых равен $3C$, позволяют найти третий: угол $OKL$ :равен $C$.
Таким образом, подобие треугольников $ABC$ и $OLK$ доказано.