2019-03-17
B треугольнике $ABC$ радиус вписанной окружности равен $r$, сторона $BC$ больше $r$ в $k$ раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше $r$ в 4 раза. Найти полупериметр $p, tg\frac{A}{2}$ и стороны $b$ и $с$.
Решение:
Площадь треугольника $ABC$ (рис.), с одной стороны, равна $1/2h_aa = 2kr^2$, а с другой стороны, равна $pr$. Следовательно, $p=2kr$.
Так как $AB_1 = AC_1$ (касательные к одной окружности) и аналогично $BC_1 = BA_1, CB_1 = CA_1$, то $CB_1 + BC_1 = CA_1 + BA_1 = a, AB_1 + CB_1 + BC_1 = p$ и $AB_1 = p-a=2kr-kr = kr$. Теперь можно вычислить $tg A/2 = r/kr = 1/k$.
Чтобы найти стороны $b$ и $c$, определим величины $b+c$ и $bc$. Величина $b+c$ определяется просто:
$b+c = 2p - a = 3kr$.
Чтобы найти $bc$, вспоминая, что площадь треугольника $ABC$, равная $2kr^2$, может быть записана в виде $1/2 bc \sin A$, где $\sin A = \frac {2k}{1+k^2}$.
Решая систему уравнений
$\begin{cases} b + c = 3kr \\ bc = 2r^2 (1+ k^2) \end{cases}$
найдем
$\begin{cases} b = r/2 (3k + \sqrt{k^2 - 8}) \\ c = r/2 (3k - \sqrt{k^2 - 8}) \end{cases}$
или, наоборот,
$\begin{cases} b = r/2 (3k - \sqrt{k^2 - 8}) \\ c = r/2 (3k + \sqrt{k^2 - 8}) \end{cases}$.
Задача имеет решение при $k > 2 \sqrt{2}$.
Ответ. $p=2kr, tg A/2 = 1/k, b = r/2(3k - \sqrt{k^2 - 8}), c = r/2 (3k + \sqrt{k^2 - 8} )$, где $k > 2 \sqrt{2}$.