2019-03-17
Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.
Решение:
Проведем через центр $O_1$ (рис.) вписанной в треугольник $ABC$ окружности прямую, параллельную $AC$ и пересекающую медиану $AE$ в точке $O$. Докажем, что $O$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$.
С помощью сравнения площадей получим
$(a+d)BD = rP$,
где
$P = a + (a+d) + (a+2d) = 3(a+d)$,
откуда $BD = 3r$.
Так как $AE$ - медиана, то из подобия треугольников $BDC$ и $EFC$ следует, что $EF = 1/2BD = 3/2r$. Из подобия треугольников $AOG$ и $AEF$ получаем $AO:AE = OG:EF = 2:3$.
Следовательно, $AO:OE = 2:1$ и $O$ - точка пересечения медиан.