2019-03-17
B треугольник с основанием $a$ и противоположным углом а вписана окружность. Через центр этой окружности и концы основания треугольника проведена вторая окружность. Найти ее радиус.
Решение:
Так как $OC$ и $OB$ (рис.) - биссектрисы соответствующих глов треугольника $ABC$, то
$\angle COB = \pi - (\angle OCB + \angle OBC) = \pi - \frac {B+C}{2}$.
Но $B+C = \pi - A = \pi - \alpha$. Следовательно, $\angle COB = \pi/2 + \alpha/2$.
Применяя теорему синусов, получим
$OO_1 = \frac {a}{2 \sin \angle COB} = \frac {a}{2 \sin (\pi/2 + \alpha/2} = \frac {a}{2 \cos \alpha/2}$.
Ответ. $\frac {a}{2 \cos \alpha/2}$.