2019-03-17
Даны длины высот $AA_1 = h_a$ и $BB_1 = h_b$ треугольника $ABC$ и длина $CD = l$ биссектрисы угла $C$. Найти угол $C$.
Решение:
Площадь $S$ треугольника $ABC$ (рис.) может быть записана с помощью биссектрисы $l$ следующим образом:
$S = 1/2 (a+b) l \sin C/2$.
Таким образом, имеем три выражения для $2S$:
$ah_a = bh_b = (a+b) l \sin C/2$.
Исключая $a$, получим
$bh_b = b \frac {h_a + h_b}{h_a} l \sin C/2$,
откуда $C = 2 arcsin \frac {h_ah_b}{l(h_a+h_b)}$.
Задача имеет решение, если
$0 < \frac {h_ah_b}{l(h_a+h_b)} < 1$, т.е. $l > \frac {1}{1/h_a + 1/h_b}$.
В правой части стоит величина, называемая средним гармоническим длин $h_a$ и $h_b$.
Ответ. $C = 2 arcsin \frac {h_ah_b}{l(h_a+h_b)}$, если длина биссектрисы больше среднего гармонического длин $h_a$ и $h_b$.