2019-03-17
B треугольнике $ABC$ дана разность $\phi$ углов $A$ и $B$ ($\phi = A - B > 0$). Известно, что высота, опущенная из $C$ на $AB$, равна $BC - AC$. Найти углы треугольника.
Решение:
По условию $CD = BC - AG$ рис. Так как $AC = \frac{CD}{\sin A}, BC = \frac{CD}{\sin B}$, то
$CD \left (\frac{1}{\sin B} - \frac{1}{\sin A} \right ) = CD$ или $\sin A - \sin B = \sin A \sin B$.
Последнее уравнение можно переписать так:
$4 \sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+b}{2} = \cos (A-B) - \cos(A+B)$.
Так как $A-B = \phi$, то после замены
$\cos (A+B) = 2 \cos^2 \frac{A+B}{2} - 1$
приходим к уравнению относительно $y = \cos \frac{A=+B}{2}$:
$y^2 + 2 \sin \frac{\phi}{2} y - \cos^2 \frac{\phi}{2} = 0$.
Из его корней $y_{1, 2} = \pm 1 - \sin \frac{\phi}{2}$ годится только первый, т.е.
$\cos \frac{A+B}{2} = 1 - \sin \frac{\phi}{2}$.
Задача имеет решение при $0 < \phi < \pi$.
Остается решить систему
$\begin{cases}A + B = 2 arccos \left (1 - \sin \frac{\phi}{2} \right ) \\ A -B = \phi \end{cases}$.
Ответ. $A = arccos \left (1 - \sin \frac{\phi}{2} \right ) + \frac{\phi}{2} , B = arccos \left (1 - \sin \frac{\phi}{2} \right ) - \frac{\phi}{2} , C = \pi - A - B$.