2019-03-05
B треугольнике $ABC$ разность углов $B$ и $C$ равна $\pi/2$. Определить угол $C$, если известно, что сумма сторон $b$ и $с$ равна $k$, а высота, опущенная из вершины $A$, равна $h$.
Решение:
Поскольку $B - C = \pi/2$, угол $B$ - тупой (рис.). Так как
$b = \frac{h}{\sin C}$ и $c = \frac{h}{\sin B} = \frac{h}{\sin {\pi/2 + C}}$,
то соотношение $b + с = k$ можно переписать так:
$\frac{h}{\sin C} + \frac{h}{\cos C} = k$, откуда $h (\sin C + \cos C) = k \sin C \cos C$.
Возведем последнее уравнение в квадрат:
$h^2(1 + sin 2C) = \frac{k^2}{4} sin^2 2C$.
Получим квадратное уравнение относительно $\sin2C$. Корни этого уравнения
$\sin 2C = \frac{2 (h^2 \pm \sqrt{h^4 + h^2k^2})}{k^3} = \frac{2h(h \pm \sqrt{h^2 + k^2})}{k^2}$.
Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим, что $\sin2C < 0$, чего быть не может, так как угол $C$ острый, а следовательно, $0 < 2C < \pi$.
Остается
$\sin 2C = \frac{2h(h + \sqrt{h^2 + k^2})}{k^2}$.
B правой части стоит положительное число. Чтобы можно было найти $C$, это число не должно превышать единицу, т. е.
$2h (h + \sqrt{h^2 + k^2} \leq k^2$.
Неравенство можно переписать так:
$2 \sqrt{h^4 + k^2h^2} \leq k^2 - 2 h^2$.
При возведении в квадрат необходимо добавить ограничение $k^2 - 2h^2 \geq 0$. Получим систему
$\begin{cases} 8h^2 \leq k^2 \\ k^2 \leq 2h^2 \end{cases}$,
решением которой будет $k \geq 2 \sqrt{2} h$, так как $к$ и $h$ по условию положительны.
Ответ. $C = \frac{1}{2} arcsin \frac{2h(h + \sqrt{h^2 + k^2}}{k^2}$ при $k \geq 2 \sqrt{2} h$