2019-03-05
B остроугольном треугольнике две высоты равны 3 см и $2sqrt{2}$ еле, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найти площадь треугольника.
Решение:
Пусть $AP = 3, CR = 2 \sqrt{2}$ (рис.). Из сравнения площадей треугольника $ABC$ получим
$3a = 2 \sqrt{2}c$.
Так как $a = \frac{BQ}{\sin C}, c = \frac{BQ}{\sin A}$, то после сокращения на $BQ$ получим
$\frac {3}{\sin C} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sin A}$. (1)
По условию $BQ = 60Q$. Найдем отрезок $AQ$ из треугольников $ABQ$ и $AOQ$ соответственно:
$AQ = BQ ctg A = 60Q ctg A, AQ = OQ ctg \angle OAQ$, где $\angle OAQ = \pi/2 - C$.
Приравнивая эти два выражения, получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:
$6 ctg A ctg C = l$. (2)
Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой $\frac {1}{\sin^2 \alpha} = 1 + ctg^2 \alpha$. Получим
$9 (1 + ctg^2 C) = 8 (1 + ctg^2 A)$. (1')
Из уравнения (2) следует, что
$ctg^2 C = \frac{1}{36 ctg^2 A}$; (2')
подставляя значение $ctg^2 C$ в уравнение (1'), после несложных преобразований придем к биквадратному уравнению относительно $ctg A$:
$32 ctg^4 A - 4 ctg^2 A - 1 = 0$. (3)
Так как треугольник $ABC$ по условию остроугольный, то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3). Легко убедиться, что оно имеет единственный положительный корень
$ctg A = \frac{1}{2}$.
Подставляя в (2), найдем, что $ctg C = \frac{1}{3}$.
Теперь можно найти площадь данного треугольника:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} AP \cdot a$,
где $AP = 3$. Величину $a$ найдем из треугольника $BRC$:
$a = \frac{RC}{\sin B} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sin B} = 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + ctg^2 B}$;
$ctg B = ctg [\pi - (A + C)] = - ctg (A+C) = \frac{1 - ctg A ctg C}{ctg A + ctg C} = 1$.
Ответ. $6 см^2$.