ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Из точки $P$, лежащей на дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $PK, PL$ и $PM$ на прямые $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Доказать, что
$\frac{BC}{PK} = \frac{AC}{PL} + \frac{AB}{PM}$


Решение:



На отрезке $BC$ существует точка $N$, для которой $\angle PNB = \angle PCA$ (ибо $\angle PCB < \angle PCA = 180^{\circ} - \angle PBA < 180^{\circ} - \angle PBC$, см. рис.). Тогда имеем
$\triangle BPN \backsim \triangle APC$ и $\triangle CPN \backsim \triangle APB$,
$\angle PBC= \angle PAC$
и
$\angle PCB= \angle PAB, \angle PNC = 180^{\circ} - \angle PNB = \angle PBA$.
Учитывая, что $PK$ - высота треугольников $BPN$ и $CPN$, a $PL$ и $PM$ - высоты подобных им треугольников $APC$ и $APB$, получаем
$\frac{AC}{PL} = \frac{BN}{PK},\frac{AB}{PM} = \frac{CN}{PK}$,
откуда
$\frac{AC}{PL} + \frac{AB}{PM} = \frac{BN+CN}{PK} = \frac{BC}{PK}$,
что и требовалось доказать.