2019-02-08
Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причем на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения прямых. Возьмём на прямой $l_1$ точку $A_1$ и найдём на $l_3$ такую точку $A_2$, что середина $B$ отрезка A1A2 лежит на прямой $l_2$ (рис.). Применяя теорему синусов к треугольникам $OA_1B$ и $OA_2B$, получаем, что
$\frac{OA_2}{OA_1} = \frac{\sin \angle A_1OB}{\sin \angle A_2OB}$
Аналогично по точке $A_2$ построим на прямой $l_5$ такую точку $A_3$, что середина $A_2A_3$ лежит на $l_4$ и т. д. Перемножив полученные соотношения, получим, что $A_6$ совпадает с $A_1$.