2019-02-08
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ - ортоцентры треугольников $BCD, CDA, DAB, ABC$. Докажите, что в четырёхугольниках $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.
Решение:
Используем следующее утверждение.
Пусть $KLMN$ - выпуклый четырёхугольник; точки $X, Y$ делят отрезки $KL$ и $NM$ в отношении $\alpha$; точки $U, V$ делят в отрезки $LM$ и $KN$ в отношении $\beta$. Тогда точка пересечения отрезков $XY$ и $UV$ делит первый из них в отношении $\beta$, а второй в отношении $\alpha$ (рис.)
Доказательство этого утверждения легко получить методом масс.
Пусть теперь $A_1, B_1, C_1, D_1$ - центры тяжести треугольников $BCD, CDA, DAB, ABC$; $A_2, B_2, C_2, D_2$ - центры описанных около них окружностей. Четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ гомотетичен четырёхугольнику $ABCD$ относительно его центра тяжести с коэффициентом -1/3. Следовательно, соответствующие диагонали этих четырёхугольников делятся точками пересечения в одинаковых отношениях. Докажем, что в тех же отношениях делят друг друга диагонали четырёхугольника $A_2B_2C_2D_2$.
Пусть $P$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Тогда
$\frac{AP}{CP} = \frac{AP}{BP} \frac{BP}{CP} = \frac{\sin \angle ABD \cdot \sin \angle ACB}{\sin \angle BAC \cdot \sin \angle CBD}$.
Поскольку стороны и диагонали четырёхугольника $A_2B_2C_2D_2$ перпендикулярны сторонам и диагоналям четырёхугольника $ABCD$ (например, точки $A_2, B_2$ лежат на серединном перпендикуляре к $CD$), в таком же отношении делится и диагональ $A_2C_2$.
Пусть теперь $P_1, P_2$ - точки пересечения диагоналей четырёхугольников $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2; P^{\prime}$ - точка на отрезке $AC^{\prime}$, делящая его в отношении $A_2P_2/P_2C_2$. Так как точки $A_1, C_1$ лежат на отрезках $A^{\prime}A_2, C^{\prime}C_2$ и делят их в отношении 2 : 1, из сформулированного утверждения вытекает, что точка $P_1$ также делит отрезок $P^{\prime}P_2$ в отношении 2:1. Рассмотрев аналогичную точку на отрезке $BD$ , получим тот же результат. Отсюда следует, что $P^{\prime}$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $A^{ \prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, причём диагонали делятся этой точкой в том же отношении, что и в четырёхугольниках $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2$ и $ABCD$.