2019-02-08
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника $ABC$, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Ответ. 1:1.
Решение:
Прежде всего докажем, что прямая делит периметр и площадь треугольника в одном отношении тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности. Действительно, пусть прямая пересекает стороны $AC, BC$ в точках $X, Y$, а биссектрису угла $C$ в точке $J$; $d_1$ - расстояние от $J$ до стороны $AB$, $d_2$ - расстояние от $J$ до двух других сторон. Тогда
$2S_{CXY} = (CX + CY) d_2$,
$2S_{AXYB} = (AX + BY)d_2 + AB \cdot d_1$
и отношения равны тогда и только тогда, когда $d_2 = d_1$ , т. е. $J$ - центр вписанной окружности.
Пусть теперь центр описанной окружности $O$, центр вписанной окружности $I$ и ортоцентр $H$ лежат на одной прямой. Эта прямая содержит не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит через вершины $A$ и $B$. Так как $AI, BI$ - биссектрисы углов $HAO, HBO$, получаем, что
$\frac{AH}{AO} = \frac{HI}{IO} = \frac{BH}{BO}$.
Так как $AO = BO$, то $AH = BH$, т. е. треугольник $ABC$ равнобедренный и искомое отношение равно 1 : 1.