2019-02-08
Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке $AA_1$ взята точка $A$ такая, что
$\frac{AA^{\prime}}{A_1A^{\prime}} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
Аналогично строим $B^{\prime}$ и $C$. Докажите, что $A^{\prime}, B^{\prime}$ и $C$ лежат на одной прямой.
Решение:
Подобие, переводящее $ABC$ в $A_1B_1C_1$, можно представить как композицию симметрии относительно прямой $l$ и гомотетии с центром в некоторой точке, лежащей на $l$, и коэффициентом $k$, равным отношению соответствующих сторон треугольников. Очевидно, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ делятся $l$ в отношении, равном $k$, т. е. точки $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ лежат на $l$.