2014-06-07
В бесконечной «треугольной» таблице
$a_{1,0}$
$a_{2,-1} a_{2,0} a_{2,1}$
$a_{3,-2} a_{3,-1} a_{3,0} a_{3,1} a_{3,2}$
$ a_{4,-3} a_{4,-2} a_{4,-1} a_{4,0} a_{4,1} a_{4,2} a_{4,3}$
$\cdots \cdots$
$a_{1,2} = 1$, а каждое число $a_{n,k}$, стоящее в n-й строке ($n \in \mathbf{N} , n> 1$) на k-м месте ($k \in \mathbf{Z}$), равно сумме $a_{n-1,k-1} + a_{n-1,k} + a_{n-1,k+1}$ трех чисел предыдущей строки (если какое-либо из этих чисел отсутствует в таблице, то в сумме оно заменяется нулем). Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей, содержится хотя бы одно четное число.
Решение:
Рассмотрим функцию, определенную на множестве целых чисел:
$f(m) =
\begin{cases}
0,&\text{ если m четно;}\\
1,&\text{ если m нечетно;}
\end{cases}
$
и построим таблицу чисел, заданных формулами $b_{n,k}=f (a_{n,k})$. Тогда при $n > 1$ имеем
$b_{n,k} = f(a_{n,k}) = f(a_{n-1,k-1}+a_{n-1,k} + a_{n-1,k+1})=$
$=f(f(a_{n-1,k-1})+f(a_{n-1,k})+f(a_{n-1,k+1})) =$
$=f(b_{n-1,k-1}+b_{n-1,k} +b_{n-1,k+1})$;
при этом отсутствующее в таблице число заменяется нулем. Прямой подсчет показывает, что набор первых четырех чисел $b_{n,1-n},b_{n,2-n},b_{n,3-n},b_{n,4-n}$ n-й строки однозначно определяет набор первых четырех чисел $(n + 1)$ -й строки, причем в восьмой и четвертой cтроках эти наборы совпадают. Следовательно, эти наборы совпадают в девятой и пятой отроках, в десятой и шестой строках и т. д. Поскольку в каждой строке, начиная с третьей, эта наборы содержат нули, то в этих же строках исходной таблицы содержатся четные числа, что и требовалось доказать.