2014-06-07
Внутри треугольника ABC взята точка Р, а на сторонах АС и ВС взяты соответственно
точки M и L, для которых
$\angle PAC = \angle PBC, \angle PLC= \angle PMC = 90^{\circ}$.
Доказать, что если D - середина стороны АВ, то DM = DL.
Решение:
Пусть Е и F - середины отрезков АР и BP соответственно. Тогда, так как DE и DF -средние линии треугольника АРВ, то четырехугольник DFPE - параллелограмм, и из прямоугольных треугольников АРМ и BPL имеем
$ME = \frac{1}{2}AP = DF, LF = \frac{1}{2} BP = DE$.
Далее,
$\angle PEM = 2 \angle EAM = 2 \angle FBL = \angle PFL, \angle PED= \angle PFD$.
Таким образам, треугольники DEM и DFL равны по двум сторонам и углу между ними (равному величине
$\alpha = \angle PEM + \angle PED = \angle PFL + \angle PFD$,
если, как изображено на рис., $\alpha < 180^{circ}$, и равному $360^{\circ} - \alpha$, если $\alpha > 180^{\circ}$; если $\alpha = 180^{\circ}$, то сразу имеем
DM = ME + DE = DF + LF = DL),
откуда вытекает равенство DM = DL.