2014-06-07
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке О, а точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ являются серединами сторон ВС, СА, АВ соответственно. Окружность с центром О пересекает прямую $B_{1}C_{1}$ в точках $D_{1}, D_{2}$, прямую $C_{1}A_{1}$ - в точках $E_{1},E_{2}$, а прямую $A_{1}B_{1}$ - в точках $F_{1}F_{2}$. Доказать, что
$AD_{1} = AD_{2} = BE_{1} = BE_{2} = CF_{1} = CF_{2}$.
Решение:
Обозначим через $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ основания высот, опущенных на стороны BC, СА, АВ соответственно. Тогда справедливы равенства
$AO \cdot A_{2}O = BO \cdot B_{2}O= CO \cdot C_{2}O$
(первое равенство следует из подобия прямоугольных треугольников $AOB_{2}$ и $BOA_{2}$, а второе - из подобия прямоугольных треугольников $COB_{2}$ и $BOC_{2}$). Далее, поскольку $B_{1}C_{1}$ - средняя линия треугольника AВС, то точка Q ее пересечения с высотой $AA_{2}$ делит последнюю пополам, причем $OQ \perp D_{1}D_{2}$ и по теореме Пифагора имеем
$AD_{i}^{2} = AQ^{2} + (R^{2} – OQ^{2}) = R^{2} + (AQ-OQ) (AQ+OQ) (i=1,2)$,
где $R$ - радиус окружности. Перебор различных случаев расположения точки О на прямой $AA_{2}$ показывает, что справедливо равенство
$AD_{i}^{2}=R^{2} \pm AO \cdot A_{2}O$,
причем если точка О лежит внутри треугольника АBС, то в этом равенстве стоит знак «плюс», а если вне его, то «минус» (например, в случае, изображенном на рис. имеем $AQ – OQ = A_{2}Q - OQ = A_{2}O, AQ + OQ = AO$). Аналогично устанавливаются равенства
$BE^{2}_{i} = R^{2} \pm BO 7cdot B_{2}O, CF^{2}_{i} = R^{2} \pm CO \cdot C_{2}O$
из которых вытекает доказываемое утверждение.