2014-06-07
Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О, а на отрезках ОВ и ОС выбраны точки $B_{1}$ и $C_{1}$, для которых
$\angle AB_{1}C = \angle AC_{1}B = 90^{\circ}$.
Доказать, что $AB_{1} = AC_{1}$.
Решение:
Обозначим через $B_{2}$ и $C_{2}$ основания высот, опущенных на стороны АС и АВ соответственно (рис.). Тогда из соотношений
$\triangle AB_{1}C \thicksim \triangle AB_{2}B_{1}, \triangle ABB_{2} \thicksim \triangle ACC_{2}, \triangle AC_{1}B \thicksim \triangle AC_{2}C_{1}$
(каждая из указанных пар прямоугольных треугольников имеет общий острый угол) имеем
$AB_{1}^{2} = AB_{2} \cdot AC = AC_{2} \cdot AB = AC^{2}_{1}$,
откуда получаем требуемое равенство $AB_{1} = AC_{1}$.