2014-06-07
Пусть $a,a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n}$ - произвольные целые числа. Верно ли, что целое число
$\sum_{k=0}^{n} (a^{2}+1)^{3k}a_{k}$
делится на $a^{2}+a+1$ (или на $ a^{2}-a+1$) тогда и только тогда, когда число
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}a_{k}$
делится на $a^{2}+a+1$ (или соответственно на $a^{2}-a+1$)?
Решение:
Обозначим $b_{\varepsilon} = a^{2}+ \varepsilon a + l$, где $\varepsilon = 1$. Тогда из равенств
$(a^{2} +1)^{3} = (b_{\varepsilon} - \varepsilon a)^{3} = - \varepsilon a^{3} (\mod b_{\varepsilon}),$
$ - \varepsilon a^{3} = - \varepsilon a b_{\varepsilon} + a^{2} + \varepsilon a = b_{\varepsilon} (- \varepsilon a + 1) – 1 = -1 (\mod b_{\varepsilon})$
вытекает соотношение
$(a^{2}+1)^{3}= -1 (\mod b_{\varepsilon})$.
Таким образом,
$sum_{k=0}^{n} a_{k} (a^{2}+1)^{3k} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}a_{k}(\mod (a^{2} + \pm a + 1))$
т. е. ответ на вопрос задачи положителен.