2014-06-07
Пусть O - центр окружности, описанной около треугольника AВС, D - середина стороны AB, а Е - точка пересечения медиан треугольника ACD. Доказать, что если AB=AС, то $OE \perp CD$.
Решение:
Из соотношений (рис.)
$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}) = \frac{1}{3} \left (\overrightarrow{OC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \right )$,
$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} – 2 \overrightarrow{OC})$,
$AB = AC, \overrightarrow{AO} \perp \overrightarrow{BC}$
получаем
$12 \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{CD} = (2 \overrightarrow{OC} + 3 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} – 2 \overrightarrow{OC}) =$
$= 3 \overrightarrow{OA}^{2} + \overrightarrow{OB}^{2} – 4 \overrightarrow{OC}^{2} + 4 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = 3 R^{2} + R^{2} – 4 R^{2} + 4 \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = 4 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$,
где $R = OA = OB = OC$ - радиус окружности, описанной около треугольника ABC, и, значит, $OE \perp CD$.