2019-01-20
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдется бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Решение:
Докажем, что для всех натуральных $n$ число $10^{81n} - 1$ делится на 729. Действительно, $10^{81n} - 1 = (10^81)^n - 1^n = (10^{81} - 1) \cdot A,$ а
$10^{81} - 1 = \underset{81}{\underbrace {9 \cdots 9}} = \underset{9}{\underbrace {9 \cdots 9}} \cdot 1 \underset{8}{\underbrace {0 \cdots 0}} 1 \underset{8}{\underbrace {0 \cdots 0}} 1 \cdots 1 \underset{8}{\underbrace {0 \cdots 0}} 1 = 9 \cdot \underset{9}{\underbrace {1 \cdots 1}} \cdot 1 \underset{8}{\underbrace {0 \cdots 0}} 1 \underset{8}{\underbrace {0 \cdots 0}} 1 \cdots 1 \underset{8}{\underbrace {0 \cdots 0}} 1$.
Второй сомножитель и третий сомножитель содержат по 9 единиц, поэтому суммы их цифр делятся на 9, т. е. и сами эти числа делятся на 9. Следовательно, $10^{81} - 1$ делится на $9^3 = 729$. Итак, мы доказали, что существует бесконечно много натуральных к таких, что $10^k - 1$ делится на 729, а это равносильно утверждению задачи.