2019-01-20
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки - точки пересечения построенных линий. Пусть $Ц(n)$ - наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии $n$, $n$ - натуральное. $ЛЦ(n)$ - то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность $Ц(n)/ЛЦ(n)$ неограничена.
Решение:
а) Покажем, что $Ц(2^n) \geq n$. Действительно, если $d$ - наибольшее из расстояний между отмеченными точками, то проведение одной линии циркулем позволяет получить отмеченную точку на расстоянии не более $2d$ от уже отмеченных.
Отсюда следует, что $Ц(2^{2^n}) \geq 2^n$.
б) Покажем, что $ЛЦ(2^{2^n}) \leq 5(n + 1)$. Пусть $A$ и $B$ - две данные отмеченные точки. Проведение пяти линий позволяет построить угол $BAC,$ где $BA = 1, AC = 2$ (см. рис.): окружности радиуса 1 с центрами в точках $A, B$ и $T$, прямые $AB$ и $AT$.
Далее, проведение пяти линий позволяет построить отрезок длины $m^2$, если уже получен отрезок длины $m$ (см. рис.): последовательно строим окружности $w_1, w_2, w_3, w_4$ радиуса $m$ с центрами в точках $A, B, K (K = w_1 \cap AB), L (L = w_3 \cap AB)$ и, наконец, прямую $EM$, где $E = w_2 \cap AB, M = w_3 \cap w_4$.
Пусть $F = EM \cap AC$. Пусть $D = w_1 \cap w_3$, тогда $D$ лежит на луче $AC$. Покажем, что $DF = m^2$.
Действительно, треугольники $ADK$ и $KML$ равносторонние со сторонами $AD = KM = m, \angle DAB = \angle MKE = 60^{\circ}, AB = KE = 1$, поэтому $\angle DBA = \angle MEK$, следовательно, $EM \parallel BD$. По теореме Фалеса $AB / AD = BE / DF$, откуда следует, что $DF = m^2$.
Таким образом, $ЛЦ(2) \leq 5, ЛЦ(4) \leq 2 \cdot 5, \cdots, ЛЦ(2^{2^n}) \leq 5(n + 1)$.
Утверждение задачи следует из того, что $\frac{2^n}{5(n+1)} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$.