2019-01-20
Докажите, что любую функцию, определенную на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.
Решение:
Пусть $f(x)$ - данная функция. Покажем, как ее можно представить в виде суммы функции $f_1(x)$, график которой симметричен относительно прямой $x = 0$ и функции $f_2(x)$, график которой симметричен относительно прямой $x = a, a > 0$. Значения функций $f_1$ и $f_2$ мы определим на отрезке $[-a, a]$, затем последовательно на отрезках $[a, 3a], [-3a, -a], [3a, 5a]$ и т. д.
На $[-a, a]$ положим $f_1(x) = 0$ (можно в качестве $f_1(x)$ взять и любую четную на $[-a, a]$ функцию, обращающуюся в нуль на концах этого отрезка), а $f_2(x) = f(x) - f_1(x) = f (x)$. На отрезке $[a, 3a]$ определим функцию $f_2(x)$ так, чтобы на $[-a, 3a]$ ее график был симметричен относительно прямой $x = a$, т. е. $f_2(x) = f_2(2a - x)$. Такое определение функции $f_2(x)$ корректно, так как если $x \in [a, 3a],$ то $(2a - x) \in [-a, a]$. Функцию $f_1(x)$ на отрезке $[a, 3a]$ определим равенством $f_1(x) = f(x) - f_2(x)$. На отрезке $[-3a, -a]$ положим $f_1(x) = f_1(- x)$ , а $f_2(x) = f(x) - f_1(x)$, на отрезке $[3a, 5a] - f_2(x) = f (x) - f_2(x)$, и т.д.
На рис. приведен пример такого представления для функции $f(x) = x$.
На $[-a, a]: f_1(x) = 0$,
$f_2(x) = f(x) - f_1(x) = f(x) = x$;
на $[a, 3a]$:
$f_2(x) = f_2(2a - x) = 2a - x, f_1(x) = x - (2a - x) = 2x - 2a$;
на $[-3a, -a]$:
$f_1(x) = f_1(-x) = -2x - 2a, f_2(x) = x - (-2x - 2a) = 3x + 2a$;
на $[3a, 5a]$:
$f_2(x) = f_2(2a - x) = 3(2a - x) + 2a = 8a - 3x, f_1(x) = x - (8a - 3x) = 4x - 8a$; и т. д.