2019-01-20
Решите уравнение $ \cos \cos \cos \cos x = \sin \sin \sin \sin x$.
Решение:
Покажем, что при всех $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство
$\cos \cos \cos \cos x > \sin \sin \sin \sin x$. (1)
Достаточно это доказать для $x \in [0,2 \pi]$. Если $x \in [\pi, 2\pi]$, то утверждение очевидно: для таких $x$ выполнено $\cos \cos \cos \cos x > 0,$ а $\sin \sin \sin \sin x \leq 0$.
Пусть $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$. Тогда каждое из чисел $\cos x, \sin x, \cos \cos x, \sin \sin x, \cos \cos \cos x, \sin \sin \sin x$ неотрицательно и не превосходит 1. Так как всегда $\sin x + \cos x \leq \sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$, то для рассматриваемых значений $x$ выполняются неравенства $0 \leq \cos x < \frac{\pi}{2} - \sin x$. Следовательно,
$\cos \cos x > \cos \left (\frac{\pi}{2} - \sin x \right ) = \sin \sin x$, (2)
$\sin \cos x < \sin \left (\frac{\pi}{2} - \sin x \right ) = \cos \sin x$. (3)
Из (2) получаем, что $\cos \cos \cos x < \cos \sin \sin x$, поэтому $\cos \cos \cos x + \sin \sin \sin x < \cos( \sin \sin x) + \sin (\sin \sin x) < \frac{\pi}{2}$, откуда $\cos \cos \cos x < \frac{\pi}{2} - \sin \sin \sin x$ и, следовательно,
$\cos \cos \cos \cos x > \cos (\frac{\pi}{2} - \sin \sin \sin x) = \sin \sin \sin \sin x$.
Пусть $x \in ( \frac{ \pi}{2}; \pi )$. Положим $y = x - \frac{\pi}{2}$, тогда $y \in (0, \frac{\pi}{2})$, и неравенство (1) принимает вид
$\cos \cos \cos \sin y > \sin \sin \sin \cos y$. ($1^{ \prime}$ )
Так как при $y \in \left (0, \frac{\pi}{2} \right )$ каждое из чисел $\cos \sin у$ и $\sin \cos у$ также принадлежит интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, то в силу (2) получаем, что $\cos \cos(\cos \sin y) > \sin \sin (\cos \sin y)$. Функция $\sin \sin t, t \in (0, \frac{\pi}{2})$, является возрастающей, поэтому в силу (3) имеем
$\sin \sin (\cos \sin y) > \sin \sin (\sin \cos y)$.
Неравенство ($1^{ \prime}$) (а вместе с ним и неравенство (1)) доказано.
Ответ. Корней нет.